La curiosa gita sul fiume. Emma la pasticciera, nota cultrice dei rompicapo matematici e dei problemi di logica (Pagina Ufficiale di Emma) dopo un lungo studio ha deciso di selezionare i giochi logico-matematico più belli di ogni tempo proponendone separatamente anche le relative soluzioni. Si tratta di quesiti ed indovinelli che per essere risolti richiedono doti sia logiche ma anche creative. Il rompicapo matematico perfetto deve proporre una situazione semplice da spiegare e una soluzione altrettanto immediata da comprendere ma complicatissima da trovare, spesso al limite dell’impossibile per una mente media.
In questa pagina presentiamo La curiosa gita sul fiume un simpatico problema matematico che può essere risolte secondo due modelli: uno piuttosto complesso e uno clamorosamente facile!
LA CURIOSA GITA SUL FIUME
Quel sabato pomeriggio Emma si trova sulla barca di Giuseppe, professore di Fisica all’Università che ha conosciuto qualche settimana prima ad una festa di compleanno di una sua amica. Giuseppe è un esperto capitano ed Emma si sta godendo il panorama. E’ molto curioso vedere Roma risalendo il Tevere. Cambiando punto di vista tutto sembra diverso, quasi fosse un’altra città.
Emma guarda con ammirazione la sicurezza con cui Giuseppe gestisce l’imbarcazione e tutto procede per il meglio quando passando sotto un ponte le onde fanno traballare la barca più del normale ed il salvagente appoggiato al bordo a causa del sobbalzo finisce in mare senza che nessuno dei due se ne accorga. Dopo venti minuti esatti di andatura costante Giuseppe si accorge della mancanza ed immediatamente torna indietro alla stessa velocità rispetto all’acqua.
La barca raggiunge il salvagente ad un chilometro a valle del ponte.
Riesci a determinare la velocità dell’acqua del fiume?
Lo riuscite a fare senza utilizzare equazioni?
(In fondo pagina la soluzione)
Soluzione de “La curiosa gita sul fiiume”
CON EQUAZIONI
Soluzione del quesito barca-salvagente-ponte nel sistema di riferimento PONTE (o RIVA)
Ci mettiamo nei panni di un osservatore fermo sul ponte P, o fermo sulla riva (non importa in quale posizione)
Nel testo del problema si dice che:
- Vα è la velocità della barca rispetto alla riva quando viaggia verso monte •
- Vβ è la velocità della barca rispetto all’acqua •
- Vαβ è la velocità dell’acqua rispetto al ponte (e alla riva), l’incognita del problemaCon questi simboli intendiamo grandezze positive; se consideriamo positiva la velocità verso monte, avremo che:• mentre la barca sale verso monte la sua velocità è Vα = Vβ − Vαβ
• quando va verso valle, per recuperare la bottiglia, la sua velocità è Vα′ = − Vβ − VαβPer determinare Vαβ consideriamo che nel tempo che la bottiglia impiega a percorrere 1 kmtrasportata dall’acqua, quindi a velocità −Vαβ, la barca procede per 20 min a velocità Vα fino al punto R (inversione) e dal punto R al punto B (in cui recupera la bottiglia) a velocità
Vα′ = − Vβ − Vαβ. Uguagliamo questi due tempi:1km =20min+(Vβ−Vαβ)⋅20min+1km
Vαβ (Vβ + Vαβ)
Sviluppiamo i calcoli:
1km⋅(Vβ +Vαβ)=20min⋅(Vβ +Vαβ)⋅Vαβ +(Vβ −Vαβ)⋅20min⋅Vαβ +1km⋅Vαβ 1km⋅(Vβ +Vαβ)=20min⋅(Vβ +Vαβ)⋅Vαβ +(Vβ −Vαβ)⋅20min⋅Vαβ +1km⋅Vαβ
1km⋅Vβ =40min⋅Vβ⋅Vαβ
Da cui otteniamo che la velocità dell’acqua rispetto al ponte e alla riva è
Vαβ= 1km =1,5km 40min h
SENZA EQUAZIONI
La barca dal momento in cui supera il ponte si allontana per 20 minuti verso monte. Dopo di che alla stessa velocità riscende a valle. La durata del ritorno quindi sarà dello stesso tempo, pari a 20 minuti La barca ritorna al salvagente quindi dopo 40 minuti.
Nel frattempo, rispetto alle sponde del fiume, il salvagente è sceso di 1 km.
La velocità del salvagente (e della corrente del fiume) è quindi 1:40/60=x:60. La velocità è pari a 1,5 km/h
